Оценивание интеграла от квадрата производных симметричных плотностей вероятностей одномерных случайных величин

При обосновании методики быстрого выбора коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности обнаружена константа, которая является функционалом от второй производной плотности. В данной работе полученный результат обобщается на производные симметричных плотностей вероятностей различного порядка. Установлены функциональные зависимости исследуемых констант от коэффициента контрэксцесса случайной величины. Исследованы свойственные этим константам закономерности. На основе полученных результатов разработана методика оценивания функционалов от производных плотностей вероятностей, которая предполагает выполнение следующих действий. По исходной выборке оцениваются среднее квадратическое отклонение одномерной случайной величины и коэффициент контрэксцесса. Используя восстановленные функциональные зависимости от коэффициента контрэксцесса, оцениваются значения констант, которые являются функционалами от производных плотности вероятности. При известных оценках среднего квадратического отклонения исследуемой случайной величины и рассматриваемой константы вычисляются значения функционала от производной плотности вероятности выбранного порядка. Полученные результаты подтверждены анализом данных вычислительных экспериментов. Установлено, что с увеличением порядка производной значения оценок исследуемых функционалов увеличиваются. Данный факт объясняется усложнением подинтегральной функции в рассматриваемых функционалах. Предложенная методика обеспечивает получение объективных результатов для первых трёх производных плотности вероятности случайной величины. Результаты исследований подтверждены результатами доверительного оценивания исследуемых функционалов.

функционалы от производных плотности вероятности, симметричные законы распределения, одномерная случайная величина, коэффициент контрэксцесса, functional derivatives of the probability density, symmetric distribution laws, one-dimensional random variable, coefficient of antikurtosis

1. Parzen E., Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, nо. 3, pp. 1065-1076.

2. Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и её применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156-161.

3. Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрической оценке плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 16-20. DOI: 10.32446/0368-1025it-2018-6-16-20

4. Scott D. W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization. N. J.: John Wiley & Sons, 2015, 384 p.

5. Лапко А. В., Лапко В. А. Зависимость между параметрами гистограммы и ядерной оценки одномодальной плотности вероятности // Измерительная техника. 2019. № 9. С. 3-8. DOI: 10.32446/0368-1025it.2019-9-3-8

6. Лапко А. В., Лапко В. А. Зависимости между параметрами гистограммы и ядерной оценки плотности вероятности многомерной случайной величины // Измерительная техника. 2019. № 11. С. 18-23. DOI: 10.32446/0368-1025it.2019-11-18-23

7. Лапко А. В., Лапко В. А. Быстрый алгоритм выбора коэффициентов размытости в многомерных ядерных оценках плотности вероятности // Измерительная техника. 2018. №10. С. 19-23. DOI: 10.32446/0368-1025it.2018-10-19-23

8. Лапко А. В., Лапко В. А. Методика быстрого выбора коэффициентов размытости ядерных функций в непараметрическом алгоритме распознавания образов // Измерительная техника. 2019. № 4. С. 4-8. DOI: 10.32446/0368-1025it.2019-4-4-8.

9. Лапко А. В., Лапко В. А. Выбор коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности в условиях больших выборок // Измерительная техника. 2019. № 5. С. 3-6. DOI: 10.32446/0368-1025it.2019-5-3-6

10. Raykar V. C., Duraiswami R., Fast optimal bandwidth selection for kernel density estimation, 6th SIAM International Conference on Data Mining, 2006, pp. 522-526.

11. Rohlfs C., Zahran M., Optimal Bandwidth Selection for Kernel Regression Using a Fast Grid Search and a GPU, 2017 IEEE International parallel and distributed processing symposium workshops (IPDPSW), 2017, pp. 550-556. DOI: 10.1109/IPDPSW.2017.130

12. Silverman B. W., Journal of Royal Statistical society Series C: Applied statistics, 1982, vol. 31, no. 1, pp. 93-99.

13. Sheather S., Jones M., Journal of Royal Statistical Society Series B, 1991, vol. 53, no. 3, pp. 683-690.