При обосновании методики быстрого выбора коэффициента размытости ядерных оценок плотности вероятности обнаружена константа, которая является функционалом от второй производной плотности. В данной работе полученный результат обобщается на производные симметричных плотностей вероятностей различного порядка. Установлены функциональные зависимости исследуемых констант от коэффициента контрэксцесса случайной величины. Исследованы свойственные этим константам закономерности. На основе полученных результатов разработана методика оценивания функционалов от производных плотностей вероятностей, которая предполагает выполнение следующих действий. По исходной выборке оцениваются среднее квадратическое отклонение одномерной случайной величины и коэффициент контрэксцесса. Используя восстановленные функциональные зависимости от коэффициента контрэксцесса, оцениваются значения констант, которые являются функционалами от производных плотности вероятности. При известных оценках среднего квадратического отклонения исследуемой случайной величины и рассматриваемой константы вычисляются значения функционала от производной плотности вероятности выбранного порядка. Полученные результаты подтверждены анализом данных вычислительных экспериментов. Установлено, что с увеличением порядка производной значения оценок исследуемых функционалов увеличиваются. Данный факт объясняется усложнением подинтегральной функции в рассматриваемых функционалах. Предложенная методика обеспечивает получение объективных результатов для первых трёх производных плотности вероятности случайной величины. Результаты исследований подтверждены результатами доверительного оценивания исследуемых функционалов.
When substantiating the method of fast selection of the bandwidth of kernel probability density estimates, a constant was found that is a functional of the second density derivative. In this paper, the obtained result is generalized to derivatives of symmetric probability densities of different orders. The functional dependences of the constants under study on the coefficient of antikurtosis of a random variable are established. The regularities peculiar to them are investigated. Based on the results obtained, a method for estimating functionals from derived probability densities has been developed, which involves the following actions. In the original sample estimated standard deviation of the one-dimensional random variables and the coefficient of antikurtosis. Using the reconstructed functional dependences on the antikurtosis coefficient, the constants are estimated, which are functionals of the derivatives of the probability density. With known estimates of the standard deviation of the investigated random variable and the considered constant, the values of the functional from the derivative of the probability density of the selected order are calculated. The obtained results are confirmed by the analysis of the data of computational experiments. It is established that with increasing order of the derivative, the values of the estimates of the studied functionals increase. This fact is explained by the complication of the integrand function in the considered functionals. The proposed method provides objective results for the first three derivatives of the probability density of a random variable. The obtained conclusions are confirmed by the results of the confidence estimation of the investigated functionals.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.